Серия и последовательность
Термины «серия» и «последовательность» часто используются как взаимозаменяемые в обычной и неформальной практике. Однако с математической и научной точек зрения эти термины сильно отличаются друг от друга.
Прежде всего, когда говорят о последовательности, подразумевают просто список или набор чисел или терминов. Поэтому порядок следования чисел в списке имеет особое значение. Он должен быть логичным. Например, 6, 7, 8, 9, 10 — это последовательность чисел от 6 до 10 в порядке возрастания. Последовательность 10, 9, 8, 7, 6 — это другой файл, расположенный в порядке убывания. Есть и другие, более сложные последовательности, которые напоминают некую закономерность, например 7, 6, 9, 8, 11, 10.
Поскольку в последовательности есть закономерность, можно легко угадать n-й член. Например, в последовательности 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 и так далее, если вас спросят, каким будет шестой член 1/n, вы можете сказать, что это будет 1/6. То же самое происходит, если вас спросят об одном миллионном n-ом члене, то он будет равен 1/1 000 000. Это также показывает, что последовательности имеют поведение. В приведенном выше примере последовательности от 1 до 1/5 поведение последовательности — приближение к нулевому значению. Однако, поскольку в последовательности не будет отрицательных значений или чисел меньше нуля, предел или конец последовательности, независимо от того, насколько длинной она станет, принимается за нуль.
В отличие от этого, серия — это просто сложение или суммирование группы чисел (например, 6 + 7 + 8 + 9 + 10). Таким образом, серия имеет последовательность, несущую термины (переменные или постоянные), которые были добавлены. В серии порядок появления каждого члена также важен, но не всегда, в отличие от последовательности. Это связано с тем, что в некоторых сериях термины могут появляться без определенного порядка или закономерности, но все равно будут складываться вместе. Такие серии называются абсолютно сходящимися. Однако существуют и такие серии, в которых при изменении порядка следования членов сумма меняется.
Используя тот же пример (последовательность от 1 до 1/5), если вы хотите связать последовательность в ряд, вы можете сразу записать его как 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 и так далее, и так далее. Считается, что ответ или сумма серии очень велика. Поэтому ее называют бесконечной или, что более уместно, расходящейся.
В общем, два термина «серия» и «последовательность», по понятным причинам, вызывают у многих путаницу. Тем не менее, необходимо понимать, что:
1.сумма членов последовательности не имеет значения.
2.Сумма терминов в серии имеет первостепенное значение.
3.Порядок или структура терминов в последовательности всегда важны.
4.Порядок или схема терминов в серии иногда важны.
5.Последовательность — это перечисление чисел или терминов, а серия — это сумма терминов.