Термин «числа» заставляет нас задуматься о том, что обычно классифицируется как целые положительные значения, большие нуля. Другие классы чисел включают целые и дробные числа, комплексные и действительные числа, а также отрицательные целые значения.
Расширяя классификацию чисел дальше, мы сталкиваемся с рациональными и иррациональными числами. Рациональное число — это число, которое может быть записано в виде дроби. Другими словами, рациональное число может быть записано как отношение двух чисел.
Рассмотрим, например, число 6. Оно может быть записано как отношение двух чисел — 6 и 1, что приводит к соотношению 6/1. Аналогично, 2/3, которое записывается как дробь, является рациональным числом.
Таким образом, мы можем определить рациональное число как число, записанное в виде дроби, где числитель (число сверху) и знаменатель (число снизу) — целые числа. По определению, каждое целое число также является рациональным числом.
Отношение двух больших чисел, таких как (129 367 871)/(547 724 863), также является примером рационального числа по той простой причине, что и числитель, и знаменатель являются целыми числами.
И наоборот, любое число, которое не может быть выражено в виде дроби или отношения, называется иррациональным. Наиболее часто приводимый пример иррационального числа — √2 (1,414213…). Другим популярным примером иррационального числа является числовая константа π (3,141592…).
Иррациональное число можно записать как десятичную дробь, но не как дробь. Иррациональные числа не часто используются в повседневной жизни, хотя они и существуют на числовой прямой. На числовой прямой существует бесконечное число иррациональных чисел между 0 и 1. Иррациональное число имеет бесконечное количество неповторяющихся цифр справа от десятичной точки.
Обратите внимание, что часто упоминаемое значение 22/7 для константы π на самом деле является лишь одним из значений π. По определению, окружность круга, деленная на удвоенный радиус, является значением π. Это приводит к множеству значений π, включая, но не ограничиваясь, 333/106, 355/113 и так далее1.
Рациональными являются только квадратные корни квадратных чисел, то есть квадратные корни совершенных квадратов.
√1= 1 (рациональное)
√2 (иррациональный)
√3 (иррациональное)
√4 = 2 (рациональный)
√5, √6, √7, √8 (Иррациональные)
√9 = 3 (Рациональное) и так далее.
Далее отметим, что рациональными являются только корни n-й силы. Так, 6-й корень из 64 является рациональным, потому что 64 — это 6-я сила, а именно 6-я сила 2. Но 6-й корень из 63 иррационален. 63 не является совершенной 6-й силой.
Неизбежно возникает десятичное представление иррациональных чисел, которое приводит к некоторым интересным результатам.
Когда мы выражаем рациональное число в виде десятичной дроби, то либо эта дробь будет точной (как в случае 1/5 = 0,20), либо неточной (как в случае 1/3 ≈ 0,3333). В любом случае будет предсказуемая последовательность цифр. Обратите внимание, что если иррациональное число выражается десятичной дробью, то очевидно, что она будет неточной, так как в противном случае число было бы рациональным.
Более того, не будет предсказуемой картины цифр. Например,
√2 ≈1.4142135623730950488016887242097
Теперь, с рациональными числами, мы иногда сталкиваемся с 1/11 = 0,0909090.
Использование знака равенства (=) и трех точек (многоточие) означает, что хотя 1/11 нельзя выразить точно в виде десятичной дроби, мы все же можем приблизить ее таким количеством десятичных цифр, которое позволяет приблизиться к 1/11.
Таким образом, десятичная форма 1/11 считается неточной. Аналогичным образом, десятичная форма ¼, равная 0,25, является точной.
Что касается десятичной формы иррациональных чисел, то она всегда будет неточной. Продолжая пример с √2, когда мы пишем √2 = 1,41421356237. … (обратите внимание на использование многоточия), это сразу же подразумевает, что ни одна десятичная дробь для √2 не будет точной. Кроме того, не будет предсказуемой последовательности цифр. Опять же, используя понятия из численных методов, мы можем рационально аппроксимировать столько десятичных цифр, пока не приблизимся к √2.
Любая заметка о рациональных и иррациональных числах не может закончиться без обязательного доказательства того, почему √2 является иррациональным. При этом мы также проясняем классический пример доказательства через противоречие.
Предположим, что √2 рационально. Это заставляет нас представить его как отношение двух целых чисел, скажем p и q.
√2 = p/q
Нет необходимости говорить, что p и q не имеют общих коэффициентов, так как если бы они были, то мы бы исключили их из числителя и знаменателя.
Возведя обе стороны уравнения в квадрат, мы получим,
2 = p2 / q2
Это можно удобно записать как,
p2 = 2q2
Из последнего уравнения следует, что p2 — четное. Это возможно только в том случае, если p само по себе четное. Из этого следует, что p2 делится на 4. Следовательно, q2 и, соответственно, q должны быть четными. Таким образом, p и q оба четные, что противоречит нашему первоначальному предположению о том, что у них нет общих факторов. Таким образом, √2 не может быть рациональным. Q.E.D.